Webquest para seguir aprendiendo

En este momento final del desarrollo de la unidad, les propongo realizar la siguiente Webquest, para ampliar los conocimientos y seguir creando relaciones y enlaces con otras disciplinas, en este caso la economía. En las próximas clases se irán compartiendo y corrigiendo los trabajos.

Created with Padlet

Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

Veamos ahora una aplicación de los sistemas de ecuaciones a la física.
En el siguiente Glog tienen un video explicativo y dos problemas para resolver.
Las soluciones a los problemas las van a poder compartir en un padlet que voy a publicar en breve...
Adelante! Los espero!

Mapa conceptual de resumen

Para ir finalizando y dejarles un resumen de lo trabajado, el siguiente mapa conceptual presenta una síntesis de los temas abordados y su relación entre sí.

Mapa conceptual de resumen de la unidad

Otros métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

Los métodos de igualación, sustitución y gráfico no son los únicos que existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

A continuación les dejo dos presentaciones que explican otros dos métodos: el de REDUCCIÓN y el de DETERMINANTES.

Mètodo de reducción:

Sistema de ecuaciones metodo de reducción from María Pizarro

Método de determinantes (o Regla de Cramer):

Ecuaciones simultaneas 2x2 Regla de Cramer from Ivan Sanchez

Respuesta al problema inicial

Al comenzar esta unidad de trabajo les presenté un problema que actuó como introducción al tema.
Si bien ustedes ya tienen la respuesta, lo resolveremos ahora mediante los métodos aprendidos.
Recordemos:
El sistema de ecuaciones que se había planteado era: 3G+3H=21
                                                                                                     1G+2H=12

Donde G era el precio de cada gaseosa y H el precio de cada hamburguesa que habían comprado Marge, Homero y Bart.

¿Cómo se puede resolver?

CON EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

G=(21-3H)/3 (¿porqué)
G=7-H

Entonces:

7-H+2H=12      (¿porqué?)

H=5

Por lo tanto:

G=7-5=2

CON EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:

G=7-H

G=12-2H         (¿porqué?)

Por lo tanto:

7-H=12-2H     (¿porqué?)

-H+2H=12-7

H=5

Entonces:

G=12-2.5=2

Ahora solo falta verificar:
3G+3H=21
3.2+3.5=6+15=21
.........
G+2H=12
2+2.5=2+10=12

La respuesta al problema es:

Cada hamburguesa sale $5 y cada gaseosa $2.

¿Llegaron a la misma solución?

Si no es así, regresen a la publicación anterior para repasar y practicar.

Tipos de sistemas de ecuaciones

Clasificación de los sistemas según su solución:

Cada ecuación lineal en dos variables se representa gráficamente mediante una recta en el plano. 
Por lo tanto, una forma de encontrar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales es graficar las rectas correspondientes a cada ecuación y determinar el o los puntos en que ellas se intersecan, si es que existen.

Puede ocurrir que las rectas tengan o no puntos en común. Si los tiene, es porque hay solución para el sistema y se indica que el sistema es compatible o consistente. Pero dependiendo de cuántos puntos sean comunes, se puede encontrar las siguientes situaciones:

a) Las rectas se intersecan en un único punto: en este caso existe solución única, se dice que el sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado (SCD). Al resolver el sistema de forma analítica se obtiene un valor para x, y otro para y.

b) Las rectas sean paralelas coincidentes: en este caso existen infinitas soluciones, se dice que el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado (SCI). En este caso ambas ecuaciones son equivalentes, hallando una igualdad (x=x, 2=2, etc.).

c) Las rectas sean paralelas no coincidentes: en este caso no existe ningún punto de intersección, se dice que el sistema de ecuaciones lineales es incompatible o inconsistente (SI). Aquí encontramos que las ecuaciones se contradicen entre sí, obteniendo un resultado falso (2=3, -1=5, etc.).

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Ustedes habrán encontrado la solución al problema por algún método intuitivo, seguramente "probando" valores para G y H hasta llegar al resultado correcto.

Sin embargo, en la matemática existen varios métodos para resolverlos de manera analítica, es decir, métodos que proporcionan una manera adecuada de llegar a la solución del sistema. 

Veremos a continuación dos de ellos, los más conocidos.

Métodos analíticos de resolución de SEL:

Método de sustitución: 

Consiste en sustituir una ecuación equivalente a una de las del sistema en la otra ecuación, formando una sola ecuación lineal con una incógnita (que deben recordar como se resuelve).

Veamos un ejemplo explicativo en el siguiente video:

Por ejemplo:

Para el sistema:

x+y=5

x-2y=1

Se despeja x de la primera ecuación obteniendo x=5-y, se reemplaza la expresión obtenida en la segunda ecuación: 5-y-2y=1 y se resuelve ésta, obteniendo el valor de y:

5-3y=1

-3y=1-5

y=(-4):(-3)

y=4/3

 Se reemplaza el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones y se calcula el valor de la otra incógnita.

x+y=5

x+4/3=5

x=5-4/3

x=11/3

Finalmente se verifican ambas ecuaciones para corroborar que la solución sea correcta:

x+y=5

11/3+4/3=15/3=5

x-2y=1

11/3-2.(4/3)=11/3-8/3=3/3=1

 Método de igualación: 

Se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones para formar, cómo en el caso anterior, una sola ecuación lineal con una incógnita.

Veamos cómo se hace a continuación:

Por ejemplo para el sistema:

2x+y=1

y-x=4

Se despeja una misma incógnita de ambas ecuaciones (x o y). 

y=1-2x

y=4+x

Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve:

1-2x=4+x

-2x-x=4-1

-3x=3

x=-3/3

x=-1

Se reemplaza el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones y se calcula el valor de la otra incógnita.

2x+y=1

2.(-1)+y=1

-2+y=1

y=1+2

y=3

Finalmente, verificamos:

2x+y=1

2.(-1)+3=-2+3=1

y-x=4

3-(-1)=3+1=4

También, para los que se hayan quedado con dudas,  les dejo el siguiente material de Calaméo para que revisen:

Método de Sustitucion
siatemas de ecuaciones 

Sistemas de ecuaciones lineales

Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Definimos una ecuación lineal con dos incógnitas a aquella expresión a.x+b.y=c Con a, b y c constantes.

Esta definición está relacionada con la noción de función lineal.

Son ecuaciones lineales o de primer grado, porque ambas variables están elevadas a la primera potencia, con dos incógnitas cada una (x e y). 

Desde el punto de vista de las ecuaciones, al tratarse de una sola ecuación con dos incógnitas, posee infinitas soluciones, que gráficamente representan los infinitos puntos que constituyen una recta en el plano cartesiano.

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

a.x+b.y=c         a, b y c:constantes.

d.x+e.y=f        d, e y f : constantes.

Cada una de estas ecuaciones tiene infinitas soluciones, y  la solución del sistema es un par ordenado (x, y) que verifica ambas ecuaciones simultáneamente.

Sobre el problema: Incógnitas y ecuaciones.

Cómo pudieron ver, el problema planteado consiste en encontrar dos valores que verifiquen dos condiciones a la vez.
Valores que tenemos que encontrar: precio de cada gaseosa y de cada hamburguesa.
Condiciones que se tienen que cumplir:
1) tres gaseosas + tres hamburguesas = $ 21
2) dos hamburguesas + una gaseosa = $ 12

Cada valor que tenemos que encontrar es una incógnita.

Cada condición que se tiene que cumplir es una ecuación.

Bienvenidos!!!

¡Bienvenidos a todos!
Este espacio será usado por todos nosotros para poder trabajar, reflexionar y sobre todo APRENDER...
Con las actividades y las distintas publicaciones que se vayan haciendo vamos a conocer y desarrollar un nuevo contenido de nuestra materia: Los Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas.
El principal objetivo es que juntos aprendamos a reconocer y resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas de manera que nos pueda ser útil para interpretar y dar respuesta a algunas situaciones cotidianas (y otras no tanto).

Para que se vayan familiarizando con los términos con que vamos a trabajar, observen  la siguiente Nube de palabras

Y para empezar a trabajar, les dejo la primer actividad para que vayan pensando:

¿Pueden responder la pregunta de Maggie?

¡Los dejo pensando!

Erica.

(Imagen tomada de sites.google.com/site/matematicamente4765522/home)